Materi Turunan MATEMATIKA kelas XI Semester 2

Turunan

Turunan Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :Rumus Turunan dan contoh
Jika  dengan C dan n konstanta real, maka : 

Jika y = C dengan 

Jika y = f(x) + g(x) maka  

Jika y = f(x).g(x) maka 

 

Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Trigonometri adalah :





Contoh Soal :

1. Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.
   
   Pembahasan :
   

   y' =	dy	=	d (sin 4x + cos 6x)
   	dx		dx

   y' = 4 cos 4x − 6 sin 6x.
2. Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.
   
   Pembahasan :
   

   y' =	dy	=	d (6 sin 2x − 4 cos x)
   	dx		dx

   y' = 12 cos 2x − (-4 sin x)
   y' = 12 cos 2x + 4 sin x
   
3. Jika y = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.
   
   Pembahasan :
   

   y' =	dy	=	d (3x4 + sin 2x + cos 3x)
   	dx		dx

   y' = 12 x³ + 2 cos 2x − 3 sin 3x.

4. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(^π⁄₆).
   
   
   Pembahasan :
   Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
   ⇒ u(x) = sin x, maka  u'(x) = cos x
   ⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.
   
   Maka turunan pertamanya adalah :
   

   f '(x) =	dy	= u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
   	dx

   f '(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
   f '(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
   f '(^π⁄₆) = cos (^π⁄₆). cos 3(^π⁄₆) − 3 sin (^π⁄₆). sin 3(^π⁄₆)
   f '(^π⁄₆) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
   f '(^π⁄₆) = 0 − ³⁄₂
   f '(^π⁄₆) = -³⁄₂
5. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

   y =	1 + cos x
   	sin x

   
   Pembahasan :
   Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
   ⇒ u(x) = 1 + cos x, maka  u'(x) = -sin x
   ⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.
   
   Maka turunan pertamanya adalah :
   

   y' =	dy	=	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
   	dx		v2(x)

   y' =	-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)
   	sin2 x

   y' =	-sin2 x − cos2 x − cos x
   	sin2 x

   y' =	-(sin2 x + cos2 x) − cos x
   	sin2 x

   y' =	-(1) − cos x
   	1 − cos2 x

   y' =	-(1 + cos x)
   	(1 − cos x).(1 + cos x)

   y' =	-1
   	1 − cos x

   y' =	1
   	cos x − 1

Turunan Kedua

Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan  . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5.  maka 


Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)

    


   

   

  

        

f '(x) = u'(x) + v'(x) 
Sifat 2 :

 f(x) = u(x) - v(x)

  


     

    

    

         

f '(x) = u'(x) - v'(x)


Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

    

      

    

    
 f '(x)=c.u'(x)


Sifat 4 :
 f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)


    

      

    

    

    

      

     

 

Sifat 5

 

Karena
 
 maka

 

sehingga

 

 


 

 
Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

 
Contoh Soal :

1. Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f‘(x) = …
   A. 4(2x – 1)(x + 3)
   B. 2(2x – 1)(5x + 6)
   C. (2x – 1)(6x + 5)
   D. (2x – 1)(6x + 11)
   E. (2x – 1)(6x + 7)
   PEMBAHASAN :
   INGAT : f(x) = u.v
   f'(x) = u’v + uv’
   misal : u(x) = (2x – 1)2  u'(x) = 2(2x – 1)(2)
   v(x) = x + 2  v'(x) = 1
   f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
   = (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
   = 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1
   = 12x2 + 8x – 7
   = (2x – 1)(6x + 7)
   JAWABAN : E